Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Вінницький національно технічний університет
Інститут інформаційних технологій та комп’ютерної інженерії
Кафедра КН
Лабораторна робота №7
З дисципліни «ТЙ, ЙП та МС»
на тему: «Дослідження інтервального оцінювання параметрів біноміального закону розподілу»
Мета: закріпити теоретичні відомості шляхом знаходження довірчих інтервалів для різноманітних параметрів біноміального закону розподілу.
Теоретичні відомості
Точкова оцінка. В якості точкової оцінки невідомої ймовірності p приймають відносну частоту:
,
де m – число появи події А; n – число дослідів.
Ця оцінка незміщена, тобто її математичне сподівання дорівнює оцінюваній ймовірності. Дійсно, враховуючи, що М(n)=np , отримаємо:
.
Знайдемо дисперсію оцінки, приймаючи до уваги, що :
.
Звідки середньоквадратичне відхилення:
.
Інтервальна оцінка. Знайдемо довірчий інтервал для оцінки ймовірності по відносній частоті.
, (1)
де Х – нормальна випадкова величина з математичним сподіванням М(Х)=а.
Якщо n достатньо велике та ймовірність р не дуже близька до нуля та до одиниці, то можна вважати, що відносна частота розподілена приблизно нормально, причому, як показано в п.1, М(W)=p.
Таким чином, замінивши в співвідношенні (1) випадкову величину Х та її математичне сподівання а відповідно випадковою величиною W та її математичним сподіванням р, отримаємо наближене рівняння:
. (2)
Побудуємо довірчий інтервал (р1;р2), котрий з надійністю покриває оцінюваний параметр р.
.
Замінивши через ,отримаємо:
,
де .
Звідки : та .
Таким чином, з надійністю виконується нерівність:
.
Враховуючи, що ймовірність р невідома, розв’яжемо цю нерівність відносно р. Припустимо, що . Тоді .
Обидві частини нерівності позитивні; привівши їх до квадрату , отримаємо рівносильну квадратну нерівність відносно р:
.
Дискримінант тричлена позитивний, тому його корні дійсні і різні:
менший корінь
, (3)
більший корінь
, (4)
Значить, даний довірчий інтервал , де р1 та р2 знаходять по формулам (3) та (4).
Хід роботи
Використовують незалежні випробування з однаковою, але невідомою ймовірністю р появи події А в кожному досліді. Знайти довірчий інтервал для оцінки р з надійністю , якщо в дослідах подія А відбулась разів.
Використаємо програму для знаходження довірчого інтервалу:
Дана програма запитує довірчу ймовірність і вираховує довірчий інтервал для Р.
Рис. 1
Висновок:
Під час виконання даної лабораторної роботи була написана програма для оцінювання ймовірності і закріплені теоретичні відомості шляхом знаходження довірчих інтервалів для різноманітних параметрів біноміального закону розподілу.
Лістинг програми
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include<clocale>
#include <math.h>
using namespace std;
int main(){
setlocale(LC_ALL,"Ukrainian");
double N = 80.0, m = 16.0, g,t;
int case0;
cout << "1 - 0,95"<< endl;
cout << "2 - 0,99"<< endl;
cout << "3 - 0,999"<< endl;
cout << "Введіть довірчу ймовірність gamma:(1,2 або 3) "<< endl;
cin >> case0;
switch(case0) {
case 1:
g = 0.95;
t = 1.991;
break;
case 2:
g = 0.99;
t = 2.64;
break;
case 3:
g = 0.999;
t = 3.418;
break;
}
cout << "N= "<< N <<endl;
cout << "m= "<< m <<endl;
cout << "gamma= "<< g <<endl;
double w = m / N;
double val1 = N / (t * t + N);
double val2 = w + (t * t) / (2 * N);
double val3 = t * (sqrt( (w * (1 - w) / N) + (t / (2 * N)) * (t / (2 * N)) ));
double p1 = val1 * (val2 - val3);
double p2 = val1 * (val2 + val3);
cout << p1 << "< p <" << p2 <<endl;
}
